Dưới đây là bốn bậc phép toán (vi thừa) đầu tiên, túc thừa được coi là phép toán thứ tư trong số đó. Phép toán một ngôi tiết triển, được định nghĩa là a ′ = a + 1 {\displaystyle a'=a+1} , được gọi là vi thừa bậc 0.

1. Phép cộng a + n = a + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n {\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}} n là số lần tiết triển của a
2. Phép nhân a × n = a + a + ⋯ + a ⏟ n {\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}} n là số lần cộng của a
3. Luỹ thừa a n = a × a × ⋯ × a ⏟ n {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}} n là số lần nhân của a
4. Túc thừa n a = a a ⋅ ⋅ a ⏟ n {\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}
   n là số tầng luỹ thừa của a, tính phải sang trái.[1]

Phép tiết triển, (a′ = a + 1) là phép toán cơ bản nhất. Ngoài ra, phép cộng (a + n) là một phép toán chính, ngoài phép cộng của các số tự nhiên nó có thể được coi là một chuỗi các tiết triển của n và tiết triển của a, phép nhân (a × n) cũng là một phép toán chính, đối với các số tự nhiên nó có thể tương tự được coi là một chuỗi các phép cộng đến n lần theo số a. Luỹ thừa ( a n {\displaystyle a^{n}} ) có thể được coi là một chuỗi phép nhân đến n lần theo số a và và túc thừa ( n a {\displaystyle ^{n}a\!} ) có thể được coi là một chuỗi các mũ đến n lần theo số a. Mỗi phép toán ở trên được định nghĩa bằng cách lặp lại cái trước đó[2]. Tuy nhiên, không giống như các phép toán trước nó, túc thừa không phải là một hàm số sơ cấp.

Tham số a được gọi là cơ số, trong khi tham số n trong túc thừa có thể được gọi là tham số chiều cao hoặc gọi đơn giản là số triện. Trong định nghĩa ban đầu của túc thừa, tham số chiều cao phải là số tự nhiên. Ví dụ, nó sẽ phi lý khi nói "ba tăng lên chính nó âm năm lần" hoặc "bốn tăng lên chính nó một nửa lần." Tuy nhiên, cũng như phép cộng, phép nhân và luỹ thừa có thể được định nghĩa theo cách cho phép mở rộng đến số thực và số phức, một số nỗ lực đã được thực hiện để khái quát hoá túc thừa thành số âm, số thực, và số phức. Một trong những cách để làm là sử dụng định nghĩa đệ quy cho túc thừa, đối với mọi số thực dương a > 0 {\displaystyle a>0} và số nguyên dương n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} , ta có thể định nghĩa n a {\displaystyle \,\!{^{n}a}} đệ quy như sau:[2]

n a := { 1 nếu  n = 0 a ( ( n − 1 ) a ) nếu  n > 0 {\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{nếu }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{nếu }}n>0\end{cases}}}

Định nghĩa này tương đương với số lần lặp lại luỹ thừa theo số triện tự nhiên. Tuy nhiên, định nghĩa này cho phép mở rộng lên các số triện khác chẳng hạn như 0 a {\displaystyle ^{0}a} , − 1 a {\displaystyle ^{-1}a} , and i a {\displaystyle ^{i}a} , nhiều trong số các phần mở rộng này là lĩnh vực nghiên cứu hành động.